Para calcular \(\frac{dz}{dt}\) usando a regra da cadeia, precisamos primeiro expressar \(z\) em termos de \(t\) e \(s\). Dado que \(z = 3y^2 + 2x\), \(x = t + 2s\) e \(y = 3t + s\), podemos substituir \(x\) e \(y\) na expressão de \(z\).
Primeiro, substituímos \(x\) e \(y\) na expressão de \(z\):
\[ z = 3(3t + s)^2 + 2(t + 2s) \]
Agora, expandimos a expressão:
\[ z = 3(9t^2 + 6ts + s^2) + 2t + 4s \]\[ z = 27t^2 + 18ts + 3s^2 + 2t + 4s \]
Para encontrar \(\frac{dz}{dt}\), aplicamos a regra da cadeia. Precisamos derivar \(z\) em relação a \(t\) e \(s\), e depois multiplicar pelas derivadas de \(t\) e \(s\) em relação a \(t\):
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial t} \frac{dt}{dt} + \frac{\partial z}{\partial s} \frac{ds}{dt} \]
Como \(t\) é a variável independente, \(\frac{dt}{dt} = 1\) e \(\frac{ds}{dt} = 0\). Portanto, a expressão simplifica para:
\[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial t} \]
Agora, derivamos \(z\) em relação a \(t\):
\[ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (27t^2 + 18ts + 3s^2 + 2t + 4s) \]\[ \frac{\partial z}{\partial t} = 54t + 18s + 2 \]
Portanto, a derivada de \(z\) em relação a \(t\) é:
\[ \frac{dz}{dt} = 54t + 18s + 2 \]
